Question

【题目】【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC=__ __；若∠A=n°，则∠BEC=__ _.

【探究】

(1)如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A=n°，则∠BEC=____；

(2)如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；

(3)如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)

Answer 1

【答案】问题：130°，90°＋n°探究：（1）60°＋n°(2)∠BOC＝∠A. (3)∠BOC＝90°－∠A

【解析】试题分析：问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可；

探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；

（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解；

（3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解．

试题解析：【问题】解：∵∠A=80°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-50°=130°；

由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，

∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=90°-n°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（90°-n°）=90°+n°；

探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°，

∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°-n°）=120°-n°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-（120°-n°）=60°+n°；

（2）∠BOC=∠A．

理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，

∠OCD=∠BOC+∠OBC，

∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，

∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，

∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC），

∴∠A=2∠BOC，

∴∠BOC=∠A；

（3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，

∴∠OBC=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∠OCB=（180°-∠ACB）=90°-∠ACB，

在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（90°-∠ABC）-（90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），

由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BOC=（180°-∠A）=90°-∠A．