Question

【题目】如图，边长为4cm的等边△ABC中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）∠QMC的大小是否发生变化？若无变化，求∠QMC的度数；若有变化，请说明理由；
（3）连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，

∵点P、Q的速度相同，

∴AP=BQ，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP

（2）

解：∠QMC的大小不发生变化，

∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°

（3）

解：设点P，Q运动x秒时，△PBQ是直角三角形，

则AP=BQ=x，PB=（4﹣x），

当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴BP=2BQ，即4﹣x=2x，

解得，x= ，

当∠PBQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，即2（4﹣x）=x，

解得，x= ，

∴当点P，Q运动 秒或 秒时，△PBQ是直角三角形

【解析】（1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP，根据三角形的外角的性质解答；（3）分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．