Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）E是底边BC的延长线上一点，M是BE的中点，连接DE、DM．若CE=CD，求证：DM⊥BE．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示，射线BD即为所求；

（2）解：证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC= ∠ABC，

∵CD=CE，

∴∠E=∠CDE，

∵∠ACB是△CDE的外角，

∴∠E= ∠ACB，

∴∠E=∠DBC，

∴BD=DE，

又∵M是BE的中点，

∴DM⊥BE

【解析】（1）以点B为圆心，适当的长为半径作弧，交∠ABC于两点，分别以这两点为圆心，适当的长为半径画弧，交于一点，最后过该点与点B作射线，交AC于点D即可；（2）先根据角平分线的定义以及三角形外角性质，求得∠E=∠DBC，进而得出BD=DE，再根据M是BE的中点即可得出结论．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．