Question

【题目】在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AB 上，连结 PC，PD，M，N 分别为 AB，PC 中点，连结 MN 交 PD 于点 Q．

（1）如图 1，当点 P 与点 B 重合时，求∠QMB 的度数；

（2）当点 P 在线段 AB 的延长线上时.

①依题意补全图2

②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM.小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1延长BA到点 E，使AE=PB .要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB.

想法2：取PD 中点E ，连结NE,EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM 是平行四边形.

想 法3：过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，要证QP=QM ，只要证明△NEM∽△DAP.

……

请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可)

Answer 1

【答案】（1）∠QMB 的度数为45°；

（2）①补全图2见解析；②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AC，由MN分别是AB、BC的中点可得，MN是 的中位线，即可得到∠QMB 的度数为45°；（2）①根据题意画出图形；②根据每种方法提示解题即可；

试题解析：

(1) 连结AC,如图所示：

∵四边形ABCD是正方形

∴∠D AB=90°

∴∠C AB=45°

点 M,N 是 AB,BC 中点

∴MN∥AC

∴∠NMB=∠C AB=45°

∴∠QMB=∠C AB=45°

(2)① 如图所示：

②想法1：延长BA 到点E，使AE=PB

∴BE=AP

∵正方形ABCD

∴∠PAD=∠EBC=90° AD=BC

∴△PDA≌△ECB

∠DPA=∠E

又点M 是AB 中点,AM=MB, 又AE=BP

∴AM+EA=MB+BP

∴EM=MP

∴M是EP中点

∴MN是△EPC的中位线

∴MN∥EC

∴∠E=∠NMP

∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM

∴QM=QP

想法2：取PD 中点E，连结NE,EA

∵E,N分别是PD,PC

∴EN∥CD,EN=CD

又CD∥AB,CD=AB

∴EN∥AB且EN=AB

∴EN=AM

∴四边形是NEAM是平行四边形

∴EA∥MN

∴∠EAB=∠NMB

又点E 是Rt△DAP 斜边DP中点

∴AE=EP

∴∠EAB=∠EPA

∴∠NMB=∠EPA

∴QM=QP

想法3:过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，

∵CB⊥AB,

∴NE⊥AP

又∵N 是 PC中点

∴NE 是△CBP的中位线

∴NE=BC

又点E是B P中点

∴BE=BP,MB=AB

∴ME=AP

∴

∠NEM=∠DAP=90°

∴△NEM∽△DAP

∴∠EMN=∠APD

∴QM=QP