Question

【题目】如图， 是 的中线， 是线段 上一点（不与点 重合）． 交 于点 ， ，连结 ．

（1）如图1，当点 与 重合时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，当点 不与 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长 交 于点 ，若 ，且 ．
①求 的度数；
②当 ， 时，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE//AM，

∴∠ECD=∠ADB，

又∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，

∴△ABD△EDC，

∴AB=ED，又∵AB//ED,

∴四边形ABDE为平行四边形。

（2）

解：结论成立，理由如下：

过点M作MG//DE交EC于点G，

∵CE//AM，

∴四边形DMGE为平行四边形，

∴ED=GM且ED//GM，

由（1）可得AB=GM且AB//GM，

∴AB=ED且AB//ED.

∴四边形ABDE为平行四边形.

（3）

解：①取线段HC的中点I，连结MI，

∴MI是△BHC的中位线，

∴MI//BH,MI=BH，

又∵BH⊥AC，且BH=AM，

∴MI=AM，MI⊥AC，

∴∠CAM=30°

②设DH=x,则AH=x，AD=2x,

∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,

由（2）已证四边形ABDE为平行四边形，

∴FD//AB，

∴△HDF~△HBA，

∴，即

解得x=1±（负根不合题意，舍去）

∴DH=1+.

【解析】（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，则△ABD△EDC，得到AB=ED，根据有一组对边平行且相等，可得四边形ABDE为平行四边形.
（2）过点M作MG//DE交EC于点G，则可得四边形DMGE为平行四边形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可证得；
（3）①在已知条件中没有已知角的度数时，则在求角度时往特殊角30°，60°，45°的方向考虑，则要求这样的特殊角，就去找边的关系，构造直角三角形，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，则去找Rt△AMI中边的关系，求出∠CAM；
②根据①所得的∠CAM，则可设DH=x,即可用x分别表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到对应边成比例，求出x的值即可；
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形中位线定理(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半)，还要掌握平行四边形的判定与性质(若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积)的相关知识才是答题的关键．