Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.

求证：(1)BD是⊙O的切线；(2)CE2＝EH·EA.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，即可得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论.

试题解析：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线。　

(2)连接AC，

∵OF⊥BC，

∴＝，

∴∠ECB＝∠CAE，

又∵∠HEC＝∠CEA，

∴△CEH∽△AEC，

∴＝，

∴CE2＝EH·EA.