Question

【题目】如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF
（1）求证：△EBF≌△DFC；
（2）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（3）①△ABC满足时，四边形AEFD是菱形．（无需证明） ②△ABC满足时，四边形AEFD是矩形．（无需证明）
③△ABC满足时，四边形AEFD是正方形．（无需证明）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABE、△BCF为等边三角形，

∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，

∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，

在△ABC和△EBF中，

，

∴△ABC≌△EBF（SAS），

∴EF=AC，

又∵△ADC为等边三角形，

∴CD=AD=AC，

∴EF=AD=DC，

同理可得△ABC≌△DFC，

∴DF=AB=AE=DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

∴∠FEA=∠ADF，

∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，

在△FEB和△CDF中，

．

∴△EBF≌△DFC（SAS）

（2）证明：∵△EBF≌△DFC，

∴EB=DF，EF=DC．

∵△ACD和△ABE为等边三角形，

∴AD=DC，AE=BE，

∴AD=EF，AE=DF

∴四边形AEFD是平行四边形

（3）AB=AC；∠BAC=150°；AB=AC，∠BAC=150°
【解析】（3）①若AB=AC，则平行四边形AEFD是菱形； 此时AE=AB=AC=AD，即△ABC是等腰三角形；
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；
②若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；
③综合①②的结论知：当△ABC是顶角∠BAC是150°的等腰三角形时，四边形AEFD是正方形．
故答案是：①AB=AC；
②∠BAC=150°；
③AB=AC，∠BAC=150°．

（1）由△ABE与△BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到△EBF与△DFC全等；（2）利用（1）中全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形；（3）①当AE=AD时，ADFE是菱形；②当∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度数，则可得ADFE是矩形；③当ADFE是正方形时，∠EAD=90°，且AE=AD，联立①②的结论即可．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和平行四边形的判定与性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积即可以解答此题．