Question

【题目】如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； （i）当点P与A、B两点不重合时，求 的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD⊥BE，

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，

∵∠C=90°，

∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，

∴∠1=∠E，

∵在△ABD和△CEB中，

，

∴△ABD≌△CEB（AAS），

∴AB=CE，

∴AC=AB+BC=AD+CE

（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，

则△BFQ∽△BCE，

∴ ，

即 ，

∴QF= BF，

∵DP⊥PQ，

∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°，

∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°，

∴∠ADP=∠FPQ，

又∵∠A=∠PFQ=90°，

∴△ADP∽△FPQ，

∴ ，

即 = ，

∴5AP﹣AP2+APBF=3 BF，

整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，

∵点P与A，B两点不重合，

∴AP≠5，

∴AP=BF，

由△ADP∽△FPQ得， = ，

∴ = ；

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．

由（2）（i）可知，QF= AP．

当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF= ．

∴BF=QF× =4．

在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ= = = ．

∴MN= BQ= ．

∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为 ．

【解析】（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（2）（i）过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得 ，然后求出QF= BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得 = ，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得 = ，从而得解；（ii）判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．