Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2） ．

【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（2k-3）2+4＞0，由此可证出：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据根与系数的关系结合勾股定理，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，进而可得出原方程，再根据根与系数的关系，即可求出△ABC的周长．

试题解析：解：（1）△=[﹣（2k+1）]2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=（2k﹣3）2+4．

∵（2k﹣3）2≥0，∴（2k﹣3）2+4＞0，即△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵b、c是方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0的两个根，∴b+c=2k+1，bc=4k﹣3．

∵a2=b2+c2，a=，∴k2﹣k﹣6=0，∴k1=3，k2=﹣2．

∵b、c均为正数，∴4k﹣3＞0，∴k=3，此时原方程为x2﹣7x+9=0，∴b+c=7，∴△ABC的周长为7+ ．