Question

【题目】如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D、G分别是AB、AC的中点，

∴DG//BC，DG= BC，

∵E、F分别是OB、OC的中点，

∴EF//BC，EF= BC，

∴DG=EF，DG//EF，

∴四边形DEFG是平行四边形

（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，

∴∠OBC+∠OCB=90°，

∴∠BOC=90°，

∵M为EF的中点，OM=3，

∴EF=2OM=6．

由（1）有四边形DEFG是平行四边形，

∴DG=EF=6

【解析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF= BC，DG//BC且DG= BC，从而得到DE=EF，DG//EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．