Question

【题目】如图，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点F是EB的中点，连结CF交AD于点G

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）求证：AG=GD；

（3）若FB=FG，且⊙O的半径长为3，求BD．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析；(3)、2

【解析】

试题分析：(1)、要证AF是⊙O的切线，就是要证明∠FAO=90°，连接AB，根据BE是⊙O的切线和直角三角形的等量代换，就可得出结论；(2)、根据切线判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，从而可以确定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又点F是EB的中点，就可得出结论；(3)、点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的长度．

试题解析：(1)、连结AB， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=90°． ∵F是斜边BE的中点，

∴AF=FB=EF， ∴∠FBA=∠FAB， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO ∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBO=90° ∵∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90° ∴AF是⊙O的切线；

(2)、∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线， ∴EB⊥BC． 又∵AD⊥BC， ∴AD∥BE，

∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC， ∴=，=， ∴=，

∵F是斜边BE的中点， ∴BF=EF， ∴DG=AG；

(3)、解：过点F作FH⊥AD于点H， ∵BD⊥AD，FH⊥AD， ∴FH∥BC．由(2)，知∠FBA=∠BAF， ∴BF=AF． 由已知，有BF=FG， ∴AF=FG，即△AFG是等腰三角形． ∵FH⊥AD，

∴AH=GH， ∵DG=AG， ∴DG=2HG， 即=， ∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，

∴四边形BDHF是矩形，BD=FH， ∵FH∥BC，易证△HFG∽△DCG， ∴==，

即===． ∵⊙O的半径长为3， ∴BC=6．

∴==， 解得BD=2． ∴BD=FH=2．