Question

【题目】已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）用尺规作⊙O，使⊙O过A、D两点，且圆心O在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：BC与⊙O相切；

（3）设圆O交AB于点E，若AE＝2，CD＝2BD．求线段BE的长和弧DE的长．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析； （2）证明见解析；（3）BE＝1， 的长度为.

【解析】试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AC的交点；由此作AD的垂直平分线与AC交点即为圆心，然后以OA为半径即可作圆；

（2））由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AB∥OD，又由∠B=90°，则问题得证；

（3）连接OE，过点O作OF⊥AB于点F，

由垂径定理定理以及△AOF与△ACB相似推导得出AB的长，从而得BE的长，由OD∥AB可得△OCD∽△ACB，从而得出△AOE是等边三角形，进而推得∠EOD＝60°，从而可得 的长度.

试题解析：（1）如图所示，⊙O即为所求：

（2）连接OD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD，

∴∠BAD＝∠ODA，∴OD∥AB，

∴∠ODC＝∠ABC＝90°，

∵OD是半径，

∴BC与⊙O相切；

（3）连接OE，过点O作OF⊥AB于点F，

∵AE＝2，∴由垂径定理定理可知：AF＝1，

∵CD＝2BD，∴ ， ，

∵OF∥BC，∴△AOF∽△ACB，

∴，

∵OF＝BD，∴ ，

∴，∴AB＝3，

∴BE＝AB－AE＝1，

∵OD∥AB，∴△OCD∽△ACB，∴ ，

∴OD＝2，∴OA＝OD＝AE，

∴△AOE是等边三角形，

∴∠AEO＝60°，∵OD∥AB，∴∠EOD＝60°，

∴的长度为 = .