Question

【题目】定义：如图（1），若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．
（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为S1和S2 ． ①如图（2），当∠ACB=90°时，求证：S1=S2 ．
②如图（3），当∠ACB≠90°时，S1与S2是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知△ABC中，AC=3，BC=4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图（1）探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化？若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵正方形ACDE和正方形BCFG，

∴AC=DC，BC=FC，∠ACD=∠BCF=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠DCF=90°，

∴∠ACB=∠DCF=90°．

在△ABC和△DFC中，

，

∴△ABC≌△DFC（SAS）．

∴S△ABC=S△DFC，

∴S1=S2

②S1=S2．理由如下：

解：如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．

∴∠APC=∠DQC=90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC=CD，BC=CF，

∵∠ACP+∠ACQ=90°，∠DCQ+∠ACQ=90°．

∴∠ACP=∠DCQ．

在△APC和△DQC中

，

∴△APC≌△DQC（AAS），

∴AP=DQ．

∴BC×AP=DQ×FC，

∴ BC×AP= DQ×FC

∵S1= BC×AP，S2= FC×DQ，

∴S1=S2

（2）由（2）得，S是△ABC面积的三倍，

要使S最大，只需三角形ABC的面积最大，

∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°时，S有最大值．

此时，S=3S△ABC=3× ×3×4=18

【解析】（1）由正方形的性质可以得出AC=DC，BC=FC，∠ACB=∠DCF=90°，就可以得出△ABC≌△DFC而得出结论；（2）如图3，过点A作AP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q，通过证明△APC≌△DQC就有DQ=AP而得出结论；（3）如图 1，根据（2）可以得出S=3S△ABC ， 要使S最大，就要使S△ABC最大，当∠AVB=90°时S△ABC最大，就可以求出结论．