Question

【题目】如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM．

（1）求证：AO＝CM；

（2）若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）直角三角形，证明见解析

【解析】

（1）根据“BO绕点B顺时针旋转60°到BM”可知∠OBM=60°，OB=OM，即可证明△AOB≌△CMB，从而得到答案；

（2）由（1）可知AO=CM，根据OB=BM，∠OBM=60°，可知△OBM为等边三角形，从而得到OB=OM，根据勾股定理的逆定理即可得到答案.

（1）证明：∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM

∴∠OBM＝60°，OB＝BM，

∵△ABC为等边三角形

∴∠ABC＝60°，AB=CB

∴∠ABO+∠OBC=∠CBM+∠OBC=60°

∴∠ABO＝∠CBM，

在△AOB和△CMB中，

∴△AOB≌△CMB（SAS），

∴AO＝CM．

（2）△OMC是直角三角形；理由如下：

∵BO绕点B顺时针旋转60°到BM

∴∠OBM＝60°，OB＝BM，

∴△OBM为等边三角形

∴OB=OM=10

由（1）可知OA=CM=8

在△OMC中，OM2＝100，OC2+CM2＝62+82＝100，

∴OM2＝OC2+CM2，

∴△OMC是直角三角形．