Question

【题目】施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

Answer 1

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）；（2）y=x2+2x；（3）15米．

【解析】试题分析：确定了抛物线的顶点式，可以设抛物线的顶点式，又过原点（0，0），就可以确定抛物线解析式；设OB=x，由对称性得CM=x，这样就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，为求三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值，提供依据．

试题解析：（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵顶点坐标（6，6）

∴设y=a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵图象经过（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴a=

∴这条抛物线的函数解析式为y=（x﹣6）2+6，即y=x2+2x；

（3）设A（x，y）

∴A（x， （x﹣6）2+6）

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC=（x﹣6）2+6，

根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，

∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[（x﹣6）2+6]+12﹣2x=x2+2x+12=（x﹣3）2+15．

∴当x=3，L最大值为15

∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．