Question

【题目】如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD=OD，若OB⊥AC于E点．
（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；
（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：A是PB的中点，

理由：连接AD，

∵CD是⊙O的直径，

∴AD⊥AC，

∵OB⊥AC，

∴AD∥OB，

∵PD=OD，

∴PA=AB，

∴A是PB的中点

（2）∵AD∥OB，

∴△APD∽△BPO，

∴ ，

∵⊙O半径为8，

∴OB=8，

∴AD=4，

∴AC= =4 ，

∵OB⊥AC，

∴AE=CE=2 ，

∵OE= AD=2，

∴BE=6，

∴BC= =4 ．

【解析】（1）连接AD，由CD是⊙O的直径，得到AD⊥AC，推出AD∥OB，根据平行线等分线段定理得到PA=AB；（2）根据相似三角形的性质得到OB=8，求得AD=4，根据勾股定理得到AC= =4 ，根据垂径定理得到AE=CE=2 ，由勾股定理即可得到结论
【考点精析】掌握勾股定理的概念和垂径定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．