Question

【题目】如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 ．

Answer 1

【答案】9

【解析】

试题分析：

设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．根据四边形PMON的面积=△OMN的面积+△PMN的面积即可．

试题解析：

解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，

连接OP、OC、OD、PM、PN．

∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，

∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；

∵点P关于OB的对称点为D，

∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，

∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，

∴△COD是等边三角形，

∴CD=OC=OD=6cm．

∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=6cm．

∴S△OCD=

在等边三角形OCD中，S△OMN=S△OCD=

S△PMN=S△PCD=

∴S四边形PMON= S△OMN+ S△PMN=+=9．