Question

【题目】如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，沿BD折叠使点A到点A′处，DA′交BC于点F.

(1)求证：FB＝FD；

(2)求证：CA′∥BD；

(3)求△DBF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据折叠的性质和矩形的性质可得∠ADB＝∠BDA′，∠ADB＝∠DBC，等量代换求出∠BDA′＝∠DBC，然后根据等角对等边可得结论；

（2）首先求出FC＝FA′，得到∠FCA′＝∠FA′C，然后根据∠BFD＝∠CFA′求出∠FBD＝∠FCA′，利用平行线的判定可得结论；

（3）设FB＝FD＝x，则A′F＝8-x，在Rt△BA′F中，利用勾股定理构造方程求出BF即可解决问题.

解：（1）由折叠的性质可得：∠ADB＝∠BDA′，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠BDA′＝∠DBC，

∴FB＝FD；

（2）由折叠的性质可得：AD＝A′D，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∴A′D＝BC，

∵FB＝FD，

∴FC＝FA′，

∴∠FCA′＝∠FA′C，

∵∠BFD＝∠CFA′，

∴∠FBD＋∠FDB＝∠FCA′＋∠FA′C，即2∠FBD＝2∠FCA′，

∴∠FBD＝∠FCA′，

∴CA′∥BD；

（3）∵AD＝A′D＝8，AB＝A′B＝6，FB＝FD，∠BA′F＝∠A＝90°，

∴设FB＝FD＝x，则A′F＝8-x，

在Rt△BA′F中，∵BA′2＋A′F2＝BF2，

∴，

解得：，即，

∴.