Question

【题目】如图，ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形BCED′是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵将ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，

∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，

∵DE∥AD′，

∴∠DEA=∠EAD′，

∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，

∴∠DAD′=∠DED′，

∴四边形DAD′E是平行四边形，

∴DE=AD′，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴CE=D′B，CE∥D′B，

∴四边形BCED′是平行四边形；

∵AD=AD′，

∴DAD′E是菱形

（2）

证明：∵四边形DAD′E是菱形，

∴D与D′关于AE对称，

连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，

过D作DG⊥BA于G，

∵CD∥AB，

∴∠DAG=∠CDA=60°，

∵AD=1，

∴AG= ，DG= ，

∴BG= ，

∴BD= = ，

∴PD′+PB的最小值为 ．

【解析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；（2）由四边形DAD′E是平行四边形，得到DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG= ，DG= ，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)，还要掌握菱形的判定方法(任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形)的相关知识才是答题的关键．