Question

【题目】如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，AD与OC交于点E，连接CD、OD，给出以下四个结论： ①AC∥OD；②CE=OE；③∠CDE=∠COD；④2CD2=CEAB．
其中正确结论的序号是（在横线上填上你认为所有正确结论的代号）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵AB是半圆直径， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正确．
由题意得，OD=R，AC= R，
∵OE：CE=OD：AC= ，
∴OE≠CE，故②错误；
∵AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，
∴∠AOC=∠COB=90°，
∴∠CDE= ∠AOC=45°，
∵OA=OC，
∴∠CAO=45°，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAO=22.5°，
∴∠COD=2∠CAD=45°，
∴∠CDE=∠COD；故③正确；
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证），
∴∠CDE=∠ODC﹣∠ADO=67.5°﹣22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴ ，
∴CD2=COCE= ABCE，
∴2CD2=CEAB，故④正确．
综上可得①③④正确．
所以答案是：①③④，

【考点精析】通过灵活运用圆周角定理和相似三角形的判定与性质，掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．