Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．

（1）求证：∠A=∠BCD；

（2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点．

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切．

试题解析：（1）∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠DCA=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠DCB=∠A；

（2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切；

解：连接DO，

∵DO=CO，

∴∠1=∠2，

∵DM=CM，

∴∠4=∠3，

∵∠2+∠4=90°，

∴∠1+∠3=90°，

∴直线DM与⊙O相切，

故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切．