Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是圆O的直径，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=DC

（2）解：∵AB=AC，

∠B=∠C，

∵∠B=∠E，

∴∠E=∠C，

∴BD=DC=DE=3，

∵BD﹣AD=2，

∴AD=1，

在RT△ABD中，AB= = ，

∴⊙O的半径为

（3）解：∵AB=AC= ，BD=DC=3，

∴BC=6，

∵∠B=∠E，∠C=∠C，

∴△EDC∽△BAC，

∵ACEC=DCBC，

∴ EC=3×6，

∴EC= ，

∴AE=EC﹣AC= ﹣ =

【解析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC= ，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．