Question

【题目】如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．

（1）求证：△APD≌△CPD；

（2）若CF=3，CE=4，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】试题分析：

（1）根据正方形的性质，用SAS证明△APD≌△CPD；

（2）证明四边形PEDF是矩形，用勾股定理求EF，结合矩形的性质和（1）的结论求AP的长.

试题解析：

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，∠BCD=90°，

在△APD和△CPD中，，

∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）解：∵△APD≌△CPD，∴AP=PC，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，

∵PE⊥DC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=90°，

∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF．

∵∠DCB=90°，∴在Rt△CEF中，EF===5，

∴AP=EF=5．