Question

【题目】点D是等边△ABC(即三条边都相等，三个角都相等的三角形)边BA上任意一点(点D与点B不重合)，连接DC．

(1)如图1，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，猜想线段AF与BD的数量关系？请说明理由．

(2)如图2，若以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)BD＝AF，理由见解析；(2)AB＝AF+BF′，理由见解析.

【解析】

（1）证明△BCD≌△ACF，即可得出结论；（2）证明△F′CB≌△DCA，得到BF′＝DA，再由（1）即可得到结论.

(1)BD＝AF，

理由：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，

∴BC＝AC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，

∴∠BCD＝∠ACF，

在△BCD和△ACF中，

，

∴△BCD≌△ACF(SAS)，

∴BD＝AF；

(2)AB＝AF+BF′，

理由：∵△ABC和△DCF都是等边三角形，

∴BC＝AC，CF′＝CD，∠F′CD＝∠BCA＝60°，

∴∠F′CB＝∠DCA，

在△F′CB和△DCA中，

，

∴△F′CB≌△DCA(SAS)，

∴BF′＝DA，

由(1)知，BD＝AF，

∵AB＝BD+AD，

∴AB＝AF+BF′．