Question

【题目】如图，直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，过点B（6，0），E（0，﹣6）的直线上有一点P，满足∠PCA＝135°．

（1）求证：四边形ACPB是平行四边形；

（2）求直线BE的解析式及点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）点P的坐标为（9，3）．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，进而可得出∠CAO=45°，结合∠PCA=135°可得出∠CAO+∠PCA=180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出AB∥CP，同理可求出∠ABE=45°=∠CAO，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥BP，再利用平行四边形的判定定理可证出四边形ACPB为平行四边形；
（2）由点B、E的坐标，利用待定系数法可求出直线BE的解析式，由AB∥CP可得出点P的纵坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．

（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、C两点，

∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），

∴OA＝OC．

∵∠AOC＝90°，

∴∠CAO＝45°．

∵∠PCA＝135°，

∴∠CAO+∠PCA＝180°，

∴AB∥CP．

∵点B的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，﹣6），

∴OB＝OE．

∵∠BOE＝90°，

∴∠OBE＝45°，

∴∠CAO＝∠ABE＝45°，

∴AC∥BP，

∴四边形ACPB为平行四边形．

（2）设直线BE的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将B（6，0）、E（0，﹣6）代入y＝kx+b，得：

，解得：

∴直线BE的解析式为y＝x﹣6．

∵AB∥CP，

∴点P的纵坐标是3，

∴点P的坐标为（9，3）．