Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点o和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC ， 求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上

∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，

所以，点B（﹣2，3），

又∵抛物线经过原点O，

∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx，

∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上，

∴ ，

解得： ．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣x

（2）

解：∵P（x，y）是抛物线上的一点，

∴P（x， x2﹣x），

若S△ADP=S△ADC，

∵S△ADC= ADOC，S△ADP= AD|y|

又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，

∴C（0，﹣1），

∴OC=1，

∴| x2﹣x|= ，即 x2﹣x=1或 x2﹣x=﹣1，

解得：x1=2+2 ，x2=2﹣2 ，x3=x4=2，

∴点P的坐标为 P1（2+2 ，1），P2（2﹣2 ，1），P3（2，﹣1）

（3）

解：结论：存在．

∵抛物线的解析式为y= x2﹣x，

∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；

点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，

∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），

∴AE= ．

如下图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：

①菱形AEM1Q1．

∵此时EM1=AE= ，

∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣ ，

∴t1=4﹣ ；

②菱形AEOM2．

∵此时DM2=DE=1，

∴M2F=DF+DM2=6，

∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此时EM3=AE= ，

∴DM3=EM3﹣DE= ﹣1，

∴M3F=DM3+DF=（ ﹣1）+5=4+ ，

∴t3=4+ ；

④菱形AM4EQ4．

此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，

∵易知△AED∽△M4EH，

∴ = ，

即 = ，得M4E=2.5，

∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，

∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，

∴t4=6.5．

综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣ ，t2=6，t3=4+ ，t4=6.5．

【解析】（1）首先求出点B的坐标和m的值，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）△ADP与△ADC有共同的底边AD，因为面积相等，所以AD边上的高相等，即为1；从而得到点P的纵坐标为1，再利用抛物线的解析式求出点P的纵坐标；（3）如解答图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形，注意不要漏解．针对每一个菱形，分别进行计算，求出线段MF的长度，从而得到运动时间t的值．