Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°，将有一30度角的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（图中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：直线ON平分∠AOC；

理由：

设ON的反向延长线为OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB=60°，

又∵OM⊥ON，

∴∠MON=90°，

∴∠BON=30°，

∴∠CON=120°+30°=150°，

∴∠COD=30°，

∴OD平分∠AOC，

即直线ON平分∠AOC

（2）解：由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°

因此ON旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC，

由题意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40

（3）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
【考点精析】掌握角的平分线和余角和补角的特征是解答本题的根本，需要知道从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关．