Question

【题目】把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．

（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．

Answer 1

【答案】(1)2；（2）作图见解析.

【解析】试题分析：（1）用列举法得出所有不同分法的分法，根据三角形三边关系得出能组成不全等的三角形的个数，应用尺规作图.

（2）由勾股定理逆定理知，3，4，5构成三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线等于斜边 一半的性质，知3，4，5构成三角形的外接圆直径等于5，从而根据周长公式求解；对4，4，4构成三角形是等边三角形，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求解即可.

试题解析：（1）∵把一条12个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段长为4个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍，

∴不同分法的分法有：1，4，7；2，4，6；3，4，5；4，4，4.

∴能组成2个不全等的三角形：3，4，5；4，4，4.

作图如下：

（2）对于3，4，5构成的三角形，由勾股定理逆定理知，它是直角三角形，所以它的外接圆直径等于5.

∴它的三角形外接圆的周长为.

对于4，4，4构成的三角形，如图，知AH=2，∠OAH=30°，所以它的外接圆半径等于.

∴它的三角形外接圆的周长为.