Question

【题目】如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．

（1）直接写出∠ABC的度数；

（2）如图（2），BD是△ABC中∠ABC的平分线．

①找出图中所有等腰三角形（等腰三角形ABC除外），并选其中一个写出推理过程；

②在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形？如果存在，请在图（3）中画出满足条件的所有的点P，并直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由详见解析；②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度数详见解析．

【解析】

（1）由已知条件结合等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解；
（2）①等腰三角形的判定，BD是△ABC中∠ABC的平分线．可求出各个角的大小再进行判断；
②使△CDP为等腰三角形，则可能是CD=CP，DP=CD，因为∠C=∠BDC，所以不可能PC=PD．

解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC= （180°∠A）==72°；

（2）①如图（2），△ADB、△BCD是等腰三角形．

说明△ADB是等腰三角形，理由：由（1）得：∠ABC=72°，

又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°，

又∵∠A=36°，∴∠A=∠ABD，

∴AD=BD，即△ADB是等腰三角形；

说明△BCD是等腰三角形，理由：

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=（180°-36°）=72°

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC=∠ABC=36°，

∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°，

∴∠C=∠BDC，

∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形；

②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形．如图：

当以∠CDP为顶角，CD为一腰时，∠CPD=72°；

当以∠DCP为顶角，CD为一腰时，存在两点P：

一点在线段BC延长线上，此时∠CPD=36°；

一点在线段BC上，此时∠CPD=54°．

故答案为：（1）72°；（2）①△ADB、△BCD是等腰三角形，理由详见解析；②存在3个点P，使得△CDP是等腰三角形，∠CPD的度数详见解析．