Question

【题目】如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．

（1）求证：AD=AF；

（2）求证：BD=EF；

（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）四边形ABNE是正方形，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，求得∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，再证得BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．

试题解析：(1)证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABF=135°，

∵∠BCD=90°，

∴∠ABF=∠ACD，

∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD=AF；

（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB=∠DAC，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠BAC=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

在△AEF和△ABD中，

，

∴△AEF≌△ABD（SAS），

∴BD=EF；

（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，

∴∠CBD=45°，

由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∴四边形ABNE是矩形，

又∵AE=AB，

∴四边形ABNE是正方形．