Question

【题目】用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD= AB．

证法1：如图2，在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，

CE与AB相交于点E．
∵∠BCE=∠B，
∴ ．
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵ ，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE= AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD= AB．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

Answer 1

【答案】EC=EB；∠A+∠B=90°
【解析】解：证法1：如图2，

在∠ACB的内部作∠BCE=∠B，
CE与AB相交于点E．
∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，
∵∠BCE+∠ACE=90°，
∴∠B+∠ACE=90°．
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ACE=∠A．
∴EA=EC．
∴EA=EB=EC，
即CE是斜边AB上的中线，且CE= AB．
又∵CD是斜边AB上的中线，即CD与CE重合，
∴CD= AB．
所以答案是：EC=EB；∠A+∠B=90°；
证法2：延长CD至点E，使得DE=CD，连接AE、BE．如图3所示：

∵AD=DB，DE=CD．
∴四边形ACBE是平行四边形．
又∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形．
∴AB=CE，
又∵CD= CE，
∴CD= AB．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直角三角形斜边上的中线的相关知识，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．