Question

【题目】如图，在ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C．

∴在△AEH与△CGF中， ，

∴△AEH≌△CGF（SAS）

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．

∵AE=CG，AH=CF，

∴EB=DG，HD=BF．

∴△BEF≌△DGH．

∴EF=HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH=GF．

∴四边形HEFG为平行四边形．

∴EH∥FG，

∴∠HEG=∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG=∠FEG，

∴∠FGE=∠FEG，

∴EF=GF，

∴四边形EFGH是菱形

【解析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．