Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）PB=PQ，

证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ；

（2）PB=PQ，

证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，

∵P，C为正方形对角线AC上的点，

∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，

∴PF=PE，

∴四边形PECF为正方形，

∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，

∴∠BPE=∠QPF，

∴Rt△PQF≌Rt△PBE，

∴PB=PQ．

【解析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；（2）证明思路同（1）