【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

解：设此时直线DP解析式为y=kx+b，

将D（0，1），C（3，5）代入得： ，

解得： ，

则此时直线DP解析式为y= x+1


（2）

解：①当点P在线段AC上时，OD=1，高为3，S= ；

当点P在线段BC上时，OD=1，高为3+5﹣t=8﹣t，S= ×1×（8﹣t）=﹣ t+4；

②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，D对称点为（1，0），此时直线OP为y=x，

则此时点P的坐标是（3，3）


（3）

解：存在，理由为：

若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：

①当BD=BP1=OB﹣OD=5﹣1=4，

在Rt△BCP1中，BD=4，BC=3，

根据勾股定理得：CP1= = ，

∴AP1=5﹣ ，即P1（3，5﹣ ）；

②当BP2=DP2时，此时P2（3，3）；

③当DB=DP3=4时，

在Rt△DEP3中，DE=3，

根据勾股定理得：P3E= = ，

∴AP3=AE+EP3= +1，即P3（3， +1），

综上，满足题意的P坐标为（3，3）或（3， +1）或（3，5﹣ ）．


【解析】（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；②当D关于OP的对称点落在x轴上时，直线OP为y=x，求出此时P坐标即可；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．
【考点精析】本题主要考查了一次函数的性质和一次函数的图象和性质的相关知识点，需要掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小；一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远才能正确解答此题．

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