Question

【题目】如图，已知中，，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为2，设运动时间为秒.

（1） 时，为等腰三角形？

（2）另有一点从点开始，按顺时针走一圈回到点，且速度为每秒3cm，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？

Answer 1

【答案】（1）t=8或6.5；（2）t=2.4或7.2

【解析】

（1）分情况讨论：①在边AB上时，有两种情况；②在边AB上时，不能构成三角形；③在边AC上时，不能构成三角形；
（2）分情况讨论：根据点P在BC、AB、AC边上讨论，根据周长平分列方程可得结论．

（1）①i当点P在AB上，如图，

CA=AP时，AP=8，
则t=16÷2=8s，
①ii当点P在AB上，如图，

AP=CP时，过P作PD⊥AC于D，则AD=CD=AC=4

根据

∴

∴

∴在Rt△PAC中，AP==5

则t=13÷2=6.5s

故当t=8或6.5秒时，△ACP为等腰三角形；

（2）当P点在AC上，Q在AB上，PQ是相背运动，根据平分周长，则PQ运动的距离和是12，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+3t=12，
∴t=2.4；
当P点在AB上，Q在AC上，相遇后是刚刚好合计走完一周，再次平分时又合计走了半周，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴2t+3t=36，
∴t=7.2，
∴当t=2.4或7.2秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．