Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．

（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①22.5°②BD=2CE（2）BE﹣CE=2AF

【解析】试题分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质得出∠CBA=45°，再利用角平分线的定义解答即可；②延长CE交BA的延长线于点F得出CE=FE，再利用AAS证明△ABD≌△ACF，利用全等三角形的性质解答即可；（2）过点A作AH⊥AE，交BE于点H，证明△ABH≌△ACE，进而得出CE=BH，利用等腰直角三角形的判定和性质解答即可．

试题解析：

（1）①∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠CBA=45°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBA=22.5°，

∵CE⊥BD，∴∠ECD+∠CDE=90°，∠DBA+∠BDA=90°，

∵∠CDE=∠BDA，∴∠ECD=∠DBA=22.5°；

②BD=2CE．

证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图1，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=FE，

在△ABD与△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF=2CE；

（2）结论：BE﹣CE=2AF．

证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2，

∵AH⊥AE，

∴∠BAH+∠HAC=∠HAC+∠CAE，

∴∠BAH=∠CAE，

在△ABH与△ACE中，，

∴△ABH≌△ACE（ASA），

∴CE=BH，AH=AE，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AF=EF=HF，

∴BE﹣CE=2AF．