Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC，CD⊥AB于点D，CD=BD，BE平分∠ABC，点H是BC边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．
（1）求证：△ADC≌△FDB；
（2）求证：CE= BF；
（3）判断△ECG的形状，并证明你的结论；
（4）猜想BG与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，

∴BE⊥AC，CE=AE，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD=∠DBF，

在△ADC和△FDB中，

，

∴△ADC≌△FDB（ASA）；

（2）证明：∵△ADC≌△FDB，

∴AC=BF，

又∵CE=AE，

∴CE= BF；

（3）证明：△ECG为等腰直角三角形．

∵点H是BC边的中点，

∴GH垂直平分BC，

∴GC=GB，

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECG=45°，

又∵BE⊥AC，

∴△ECG为等腰直角三角形；

（4）证明：GB= CE；

∵△ECG为等腰直角三角形，

∴GC= CE，

∵GC=GB，

∴GB= CE．

【解析】（1）首先根据AB=BC，BE平分∠ABC，得到BE⊥AC，CE=AE，进一步得到∠ACD=∠DBF，结合CD=BD，即可证明出△ADC≌△FDB；（2）由△ADC≌△FDB得到AC=BF，结合CE=AE，即可证明出结论；（3）由点H是BC边的中点，得到GH垂直平分BC，即GC=GB，由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF，得∠ECO=45°，结合BE⊥AC，即可判断出△ECG的形状；（4）由△ECG为等腰直角三角形，得到GC= CE，因为GC=GB，即可得到GB= CE．