Question

【题目】如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H .下列结论：

①∠DBE=∠F；②∠F=∠BAC-∠C；

③2∠BEF=∠BAF+∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确的有（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；

②证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确；

③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．

①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F=90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE=90°，

∵∠FGD=∠BGH，

∴∠DBE=∠F，

正确；

②

∠ABD=90°∠BAC,

∠DBE=∠ABE∠ABD=∠ABE90°+∠BAC=∠CBD∠DBE90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°∠C，

∴∠DBE=∠BAC∠C∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC∠C∠DBE，

②错误；

③∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∠BEF=∠CBE+∠C，

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，

∠BAF=∠ABC+∠C，

∴2∠BEF=∠BAF+∠C，

③正确；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，

∵∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C，

∵BD⊥FC，FH⊥BE，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠ABE+∠C，

④正确，

故答案为：①③④.