Question

【题目】已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB= ，∠CAD=30°．

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OA，

∵sinB= ，

∴∠B=30°，

∠AOC=60°，

又∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，

∴∠OAD=60°+30°=90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）

解：∵OC⊥AB，OC是半径，

∴BE=AE，

∴OD是AB的垂直平分线，

∴∠DAE=60°，∠D=30°，

在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC= ，

∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5 ．

【解析】（1）连接OA，由于sinB= ，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．