Question

【题目】小明在学了三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮他解决．如图，在△ABC中，∠BAC= 50°，点I是∠ABC、∠ACB平分线的交点．

问题(1)：填空：∠BIC＝_________°．

问题(2)：若点D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝_________°．

问题(3)：若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线的交点，则∠BEC与∠BAC的数量关系是________；

问题(4)：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于__________°时，CE∥AB．

Answer 1

【答案】 115 65 ∠BEC∠BAC，或∠BAC=2∠BEC 80

【解析】分析：(1)、根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出答案；(2)、根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出各角之间的关系，从而得出答案；(3)、根据三角形的内角和定理得出答案；(4)、根据平行线的性质得出∠ACE=∠A=50°，然后根据角平分线的性质得出∠ACG=2∠ACE=100°，然后根据三角形内角和定理得出答案．

详解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）
=90+∠BAC=115°；
（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线， ∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-∠BAC=65°；
（3）∠BEC=∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°-∠BDC=90°-（90°-∠BAC）=∠BAC；
（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=50°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°， ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．