Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．

Answer 1

【答案】（1）y═﹣x2+2x+3，y=x+1；（2）P（，）；（3）．

【解析】

（1）利用待定系数法，以及点A（﹣1，0）、C（2，3）即可求得二次函数解析式、一次函数解析式；

（2）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，设P（m，﹣m2+2m+3），，则点Q（m，m+1），则可求得线段PQ=﹣（m﹣）2+，最后由图示以及三角形的面积公式表示出△APC 的面积，由二次函数最值的求法可知△APC的面积的最大值；

（3）根据两点之间线段最短过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，，当M（3，n）在直线DN′上时，MN+MD的值最小.

（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，

解得：b=2，c=3．

∴抛物线的解析式为y═﹣x2+2x+3．

设直线AC的解析式为y=kx+b．

∵将点A和点C的坐标代入得，解得k=1，b=1．

∴直线AC的解析式为y=x+1．

（2）如图，

设点P（m，﹣m2+2m+3），

∴Q（m，m+1），

∴PQ=（﹣m2+2m+3）﹣（m+1）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+，

∴S△APC=PQ×|xC﹣xA|

= [﹣（m﹣）2+]×3=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，S△APC最大=，y=﹣m2+2m+3=，

∴P（，）；

（3）如图1所示，过点N作与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．

∵当x=0时y═3，

∴N（0，3）．

∵点N与点N′关于x=3对称，

∴N′（6，3）．

∵y═﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）．

设DN的解析式为y=kx+b．

将点N′与点D的坐标代入得：，

解得：k=﹣，b=．

∴直线DN′的解析式为y=﹣x+．

当x=3时，n=+=．