Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．

（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）抛物线的关系式为 ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C的位置．请判断点B′C′是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，2），（﹣3，1）；

（2）y=0.5x2+0.5x﹣2；

（3）S△BCD=；

（4）点B′、C′在（2）中的抛物线上．理由见解析.

【解析】分析：（1）求A点的坐标就是求OA的长，可在直角三角形OAC中，根据AC=5，OC=1来求出OA的长，即可得出A的坐标．如果过B作x轴的垂线，假设垂足为F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐标；

（2）将已经求出的A，B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式；

（3）根据（2）的函数关系式即可求出D点的坐标．求△DBC的面积时，可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分（假设BD交x轴于E）．可先根据B，D的坐标求出BD所在直线的解析式，进而求出E点的坐标，那么可求出CE的长，然后以B，D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面积；（4）本题的关键是求出B′，C′两点的坐标．过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C″作C″P⊥y轴于点P．然后仿照（1）中求坐标时的方法，通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标．同理可得出C′的坐标．然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，进而可判断出两点是否在抛物线上．

本题解析：（1）∵C（1，0），∴OC=1，∵AC= ，∴OA==2，∴A（0，2），

作BH⊥x轴于H，如图1，∵△ACB为等腰直角三角形，∴CA=CB，∠ACB=90°，

∵∠ACO+∠BCH=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BCH，

在△ACO和△CBH中，∴△ACO≌△CBH，∴OC=BH=1，AO=CH=2，∴B（﹣3，1）；

故答案为（0，2），（﹣3，1）；

（2）把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得9a﹣3a﹣2=1，解得a=0.5，∴抛物线解析式为y=0.5x2+0.5x﹣2；

故答案为y=0.5x2+0.5x﹣2；

（3）∵y=0.5x2+0.5x﹣2=0.5（x+0.5）2﹣ ，∴D（﹣0.5，﹣），设直线BD的关系式为y=kx+b，

将B（﹣3，1）、D（﹣0.5，﹣ ）代入得 ，解得，

∴BD的关系式为y=﹣ x﹣ ；直线BD和x轴交点为E，如图1，

当y=0时，﹣x﹣=0，解得x=﹣2.2，则E（﹣2.2，0），

∴S△BCD=S△BCE+S△DCE=0.5·（﹣1+2.2）·1+0.5·（﹣1+2.2）·=；

（4）点B′、C′在（2）中的抛物线上．理由如下：

如图2，过点B′作B′N⊥y轴于点N，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C′作C′M⊥y轴于点M，

∵三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C的位置，

∴∠CAC′=90°，∠BAB′=90°，AC=AC′，AB=AB′，

∵∠BAF+∠B′AN=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠B′AN，

在Rt△AB′N与Rt△BAF中， ，∴Rt△AB′N≌Rt△BAF，

∴B′N=AF=2，AN=BF=3，∴B′（1，﹣1），同理可得△AC′M≌△CAO，

∴C′M=OA=2，AM=OC=1，∴C′（2，1），

当x=1时，y=x2+x﹣2=+﹣2=﹣1，所以点B′（1，﹣1）在抛物线上，

当x=2时，y=x2+x﹣2=2+1﹣2=1，所以点C′（2，1）在抛物线上．