Question

【题目】如图，O是正△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③S四边形AOBO′=24+12 ；④S△AOC+S△AOB=24+9；⑤S△ABC=36+25； 其中正确的结论有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵△ABC为正三角形，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴∠OBO′=∠ABC=60°，OB=O′B，AB=BC，
即∠1+∠2=∠2+∠3=60°，
∴∠1=∠3，
在△BO′A和△BOC中，
，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
故①正确；
②如图1：连接OO′，
∵将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴∠OBO′=60°，OB=O′B，
∴△OBO′为正三角形，
又∵OB=8，
∴OO′=8；
故②正确；

③由①知△BO′A≌△BOC，
∵OC=10，
∴AO′=CO=10，
∴AO′2=AO2+OO′2，
∴△AOO′为直角三角形，
∴S四边形AOBO′=S△AOO′+S△BOO′=×6×8+×8×4=24+16 ；
故③错误；
④如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使AB与AC重合，点O旋转至O′′，
∴∠OAO′′=60°，OA=O′′A，OB=O′′C，
∵OA=6，
∴△AOO′′是边长为6的正三角形，
又∵OB=8，OC=10，
∴O′′C=8，
∴OC2=OO′′2+O′′C2，
∴△COO′′为直角三角形，
∴S△AOC+S△AOB=S△AOC+S△AO′′C=S△O′′OC+S△AO′′O=×6×8+×6×3=24+9，
故④正确；

⑤S△AOB=×6×8×=12，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△AOB+S△ABO′+S△AOC=S△AOO′+S△BOO′+S△O′′OC+S△AO′′O-S△AOB=24+16+24+9-12=36+25；
故⑤正确；
综上所述正确的结论有：①②④⑤.
所以答案是：D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．