Question

【题目】在ΔABC中点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD、BE、DE，已知BD=DE，AD=DC，∠ADB=∠CDE.

（1）如图1，若∠ACB=40°时，求∠BAC的度数.

（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H，求证：AH=CH.

Answer 1

【答案】（1）80°；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）易证ΔADB≌ΔCDE，得∠ACB=∠DAC=∠DAB=40°，故∠BAC=80°；

（2）延长HF至点M使FM=FH，交AB于点N，连接BM、DH、DN，得ΔBMF≌ΔEHF，得BM=EH，∠EHF=∠M，结合（1）的结论可证明ΔAGN≌ΔAGH得BM=BN=EH，利用线段垂直平分线的性质得DN=DH ∠ADN=∠ADH，从而可证ΔBDN≌ΔEDH，继而证出∠ADH=∠CDH，进一步得出：AH=CH

试题解析：

简要过程：

（1）∵ΔADB≌ΔCDE （SAS）

∴∠ACB=∠DAC=∠DAB=40°

∴∠BAC=80°

（2）延长HF至点M使FM=FH，交AB于点N，连接BM、DH、DN

∴ΔBMF≌ΔEHF

∴BM=EH，∠EHF=∠M

由①得∠DAC=∠DAB，且FH⊥AD

∴ΔAGN≌ΔAGH

∴∠ANG=∠AHG

∵∠ANG=∠BNM

∴∠M=∠BNM

∴BM=BN=EH

∵ΔADN≌ΔADH（或用中垂线的性质）

∴DN=DH ∠ADN=∠ADH

∴ΔBDN≌ΔEDH（SSS）

∴∠BDN=∠EDH

∴∠ADB-∠BDN=∠CDE-∠EDH

∴∠ADN=∠CDH

∴∠ADH=∠CDH

∴AH=CH