Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）

（1）求该二次函数的解析式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，﹣3）代入得﹣3a=﹣3，解得a=1，

所以抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣3），

即y=x2﹣2x﹣3

（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1，

设E（t，t2﹣2t﹣3），

当0＜t＜1时，如图1，

EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ （舍去），t2=2﹣ （舍去）；

当1＜t＜3时，如图2，

EF=2（t﹣1），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），

整理得t2﹣5=0，解得t1= ，t2=﹣ （舍去），

此时正方形EFGH的边长为2 ﹣2；

当t＞3时，EF=2（t﹣1），EH=t2﹣2t﹣3，

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH，即2（t﹣1）=t2﹣2t﹣3，

整理得t2﹣4t﹣1=0，解得t1=2+ ，t2=2﹣ （舍去），

此时正方形EFGH的边长为2 +2，

综上所述，正方形EFGH的边长为2 ﹣2或2 +2

（3）解：设P（x，x2﹣2x﹣3），

当﹣1＜x＜0时，

∵S△ABC= ×4×3=6，

∴0＜S△APC＜6，

当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，

易得直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），

∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，

∴S△APC= 3（﹣x2+3x）

=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣ ）2+ ，

当x= 时，S△APC的面积的最大值为 ，即0＜S△APC＜ ，

综上所述，0＜S△APC＜6，

∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．

【解析】（1）设抛物线的交点式为y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点的坐标代入即可；（2）设E（t，t2﹣2t﹣3），讨论：当0＜t＜1时，如图1，EF=2（1﹣t），EH=﹣（t2﹣2t﹣3），利用正方形的性质得2（1﹣t）=﹣（t2﹣2t﹣3），当1＜t＜3时，如图2，利用正方形的性质得2（t﹣1）=﹣（t2﹣2t﹣3），然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；（3）设P（x，x2﹣2x﹣3），讨论：当﹣1＜x＜0时，由于S△ABC= 6，则0＜S△APC＜6，当0＜x＜3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，求出直线AC的解析式为y=x﹣3，则M（x，x﹣3），利用三角形的面积公式得S△APC= 3（﹣x2+3x），利用二次函数的性质得0＜S△APC＜ ，所以0＜S△APC＜6，于是得到△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和二次函数的性质，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．