Question

【题目】小红和小明在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点E，探索∠E与∠A，∠C的数量关系．
（1）发现：在图1中，小红和小明都发现：∠AEC=∠A+∠C； 小红是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB．
∴∠AEQ=∠A（）
∵EQ∥AB，AB∥CD．
∴EQ∥CD（）
∴∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C 即∠AEC=∠A+∠C．
小明是这样证明的：如图7过点E作EQ∥AB∥CD．
∴∠AEQ=∠A，∠CEQ=∠C
∴∠AEQ+∠CEQ=∠A+∠C即∠AEC=∠A+∠C
请在上面证明过程的横线上，填写依据：
两人的证明过程中，完全正确的是 ．
（2）尝试： ①在图2中，若∠A=110°，∠C=130°，则∠E的度数为；
②在图3中，若∠A=20°，∠C=50°，则∠E的度数为 ．
（3）探索： 装置图4中，探索∠E与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
（4）猜想： 如图5，∠B、∠D、∠E、∠F、∠G之间有什么关系？（直接写出结论）
（5）如图6，你可以得到什么结论？（直接写出结论）

Answer 1

【答案】
（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小红的证法
（2）120°；30°
（3）解：∠E=∠A﹣∠C．

理由：延长EA，交CD于点F．

∵AB∥CD，

∴∠EFD=∠EAB

∵∠EFD=∠C+∠E

∴∠EAB=∠C+∠E

∴∠E=∠EAB﹣∠C．

（4）解：可通过过点E、F、G分别做AB的平行线，得到结论．

∠E+∠G=∠B+∠F+∠D

（5）解：同上道理一样，可得到结论：∠E1+∠E2+…+∠En=∠F1+∠F2+…∠Fn﹣1+∠B+∠D．
【解析】解：（1.）∵小明的辅助线做不出来，所以两人的证明过程中，小红的完全正确；答案：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；小红的证法． （2.）①过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．∵EF∥AB，
∴∠A+∠AEF=180°，
∵∠A=110°，∴∠AEF=70°．
∵EF∥CD，
∴∠C+∠CEF=180°，
∵∠C=130°，∴∠CEF=50°．
②∵AB∥CD，
∴∠EOB=∠C=50°
∵∠EOB=∠A+∠E，
∵∠E=∠EOB﹣∠A=50°﹣20°=30°．
答案：120°，30°．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质．