Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）26.

【解析】

（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；

（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝＝6，于是得到结论．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，

∵BA＝BC，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵BA＝BC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵DE⊥BD，

∴∠BDE＝90°，

∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，

∵CB＝CD，

∴∠DBC＝∠BDC，

∴∠CDE＝∠E，

∴CD＝CE＝BC，

∴BE＝2BC＝10，

∵BD＝8，

∴DE＝＝6，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝5，

∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．