Question

【题目】如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（一6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．

(1)直接写出线段BO的长：

(2)求点D的坐标；

(3)若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使咀M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BO=10；（2）D（0,5）；（3）存在，, M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）由矩形的性质及勾股定理即可求出BO的长；（2）由折叠的性质可得BE=AB=6，DE=AD,故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，设D（0,a）则OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；（3）分①OM,OE都为边；②OM为边OE为对角线；③OM为对角线，OE为边；3种情况进行讨论，分别求出M的坐标.

解：(1)∵四边形ABCO是矩形，点B坐标为（-6,8）

∴BO==10

(2)∵矩形ABCO中点B的坐标是（-6,8）

∴AB=6，OA=8.

BE=AB=6，OE=10-6=4

设D(0，a)，则OD=a,AD=ED=8-a

在RtΔEOD中，

解得：a=5.

∴D（0,5）

(3)存在，

①OM,OE都为边时，OM=OE=4，

∴M的坐标为(4,0)，（-4,0）

②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1

则OG=OE=2

则cos∠MOG=cos∠BOC

∴即

解得OM=

∴M（，0）

③OM为对角线，OE为边，如图2

同②得M（，0）

∴M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.