Question

【题目】如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧 的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接CE，

∵AE是⊙O的直径，

∴CE⊥AD，

∵AC=CD，

∴AE=ED，

∴∠AEC=∠DEC，

∴ ；

∴点C是劣弧 的中点；

（2）连接BC，OB，OC，

∵AE=2AC=4，

∴∠AEC=30°，AE=AD，

∴∠AED=60°，

∴△AED是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵ = ，

∴ = = ，

∴AE∥BC，∠BOC=60°，

∴S△OBC=S△EBC，

∴S阴影=S扇形= = π．

【解析】（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．
【考点精析】掌握圆周角定理和扇形面积计算公式是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．