【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）A（6，0），B（0，8）；

（2）y=x+；

（3）存在，M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）

【解析】【试题分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证明△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出，求出AD=，得到D点坐标（﹣，0），根据中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；

（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=x+8，设M（x， x+8），再根据BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=x﹣，设M（x， x﹣），再根据AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐标．

【试题解析】

（1）解方程x2﹣14x+48=0，

得x1=6，x2=8，

∵OA＜OB，

∴A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，

∴AC=AB=5．

在△ACD与△AOB中，

，

∴△ACD∽△AOB，

∴，即，

解得AD=，

∵A（6，0），点D在x轴上，

∴D（﹣，0）．

设直线CD的解析式为y=kx+b，

由题意知C为AB中点，

∴C（3，4），

∵D（﹣，0），

∴，解得，

∴直线CD的解析式为y=x+；

（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．

∵AC=BC=AB=5，

∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：

当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=x+8，设M（x， x+8），

∵B（0，8），BM=5，

∴（x+8﹣8）2+x2=52，

化简整理，得x2=16，

解得x=±4，

∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；

当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=x﹣，设M（x， x﹣），

∵A（6，0），AM=5，

∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，

化简整理，得x2﹣12x+20=0，

解得x1=2，x2=10，

∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；

综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．

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